Oppervlakte

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Zie ook de lijst van landen naar oppervlakte

De term oppervlakte (of oppervlak) heeft in de Nederlandse taal twee betekenissen (in tegenstelling tot bijvoorbeeld de Engelse taal: "surface" en "area").

De term, als verschijningsvorm, heeft betrekking op het raakvlak tussen een materie en zijn omgeving.

Een voorbeeld: daar waar een steen in een muur is gemetseld waait wind langs dat deel van de oppervlakte van de steen dat aan het weer is blootgesteld. Regenwater stroomt over dezelfde oppervlakte van de baksteen. Tussen twee bakstenen in een muur wordt mortel gebruikt: deze mortel ligt tegen een ander deel van de oppervlakte van een baksteen en hecht daaraan.

Als andere betekenis wordt de term oppervlakte gebruikt voor (een deel van) de grootte van dit raakvlak.

In het laatste geval gebruikt men ook de uitdrukking "de grootte van een oppervlak" waarbij de twee betekenissen van de term oppervlakte inelkaar overvloeien.

Voor beide betekenissen wordt de dimensie loodrecht op het raakvlak niet beschouwd. Het raakvlak zal zich echter wel in deze laatste dimensie uitstrekken, bijvoorbeeld in het geval waar men het oppervlak van een driedimensionaal voorwerp beschouwd.

De SI-eenheid van oppervlakte (in de betekenis van grootte) is de vierkante meter, m². Deze is afgeleid van de SI-eenheid meter.

Voor niet-SI-eenheden (are, bunder enzovoort), zie: vlaktemaat.

[bewerk] Formules

De oppervlakte kan als volgt worden berekend:

$\iint dA$ (2D-oppervlak)

$\iiint dA$ (3D-oppervlak),

waarbij over het oppervlak geïntegreerd wordt.

[bewerk] 2D

De oppervlakte van enkele tweedimensionale objecten:

Oppervlakte van een vierkant: zijde x zijde
Oppervlakte van een rechthoek: lengte × breedte
Oppervlakte van een ruit: (hoogte × breedte)/2 (waarin de hoogte en de breedte de lengte van de diagonalen zijn)
Oppervlakte van een driehoek: ½ × basis × hoogte
- de oppervlakte kan ook met behulp van de formule van Heron worden berekend.
Oppervlakte van een cirkel: π r² (waarin r de straal van de cirkel is), of π d² x 1/4

[bewerk] 3D

De oppervlakte van enkele driedimensionale objecten:

Oppervlakte van een kubus: 6 s², waarin s de lengte is van een zijde van de kubus.
Oppervlakte van een balk: 2 ((l × w) + (l × h) + (w × h)), waarin l, w en h de lengte, breedte en hoogte zijn van de balk.
Oppervlakte van een bol: 4 π r² waarin r de straal van de bol is.
Oppervlakte van een cilinder: 2 π r (h + r), waarin r de straal van de cirkelvormige basis is, en h de hoogte van de cilinder.
Oppervlakte van een kegel: π r (r + √(r² + h²)), waarin r de straal van de cirkelvormige basis is, en h de hoogte van de kegel.

[bewerk] Wiskundige afleiding

Gebruik makend van $A=\iint dA$ :

rechthoek: $\int_0^b \int_0^l 1 dA = b l$ (b: breedte, l: lengte)

cirkel: $\int_{-y}^y \int_{-\sqrt{R^2-y^2}}^{\sqrt{R^2-y^2}}dydx=\pi R^2$ . Uiteraard is het eleganter de cirkel polair te beschrijven, en in een polair assenstelsel te integreren!

De maattheorie levert een exacte en algemene definitie voor het begrip oppervlakte aan de hand van een maat. Voor vlakke tweedimensionale figuren hanteert men de Lebesgue-maat op $\mathbb{R}^2$ . Voor gekromde oppervlakken bestaat enerzijds het volumebegrip uit de differentiaalmeetkunde, anderzijds de Haarmaat uit de theorie der Lie-groepen.