循环小数

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[编辑] 定義

循環小數即為有理數的小數表示形式，例：

${5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}$

${1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3}$

${1 \over 7}=0.{\color{red}142857}{\color{blue}142857}\cdots=0.\overline{142857}$

[编辑] 化為分數的方法

先看有幾位「非循環節位數（ ${\color{blue}n\,\!}$ ）」和「循環節位數（ ${\color{red}m\,\!}$ ）」，算出後，將 ${\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}$ 擺於「分母」。
「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」。
公式： $0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_{\color{blue}n\,\!} \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_{\color{red}m\,\!} }={{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}}}$
原理：
1. 令 $x=0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$ 。
2. 則 $10^n x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$ ──①。
3. $10^{n+m} x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$ ──②。
4. ②－①⇒ $\left( 10^{n+m10^n \right)x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$ }-。
5. $\begin{align} x & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^{n+m10^n}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^n\left( 10^m-1 \right)}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {\begin{matrix} \underbrace{ 1000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}} \times {\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}}}} \\ \end{align}$ }-。

[编辑] 计算方法

利用长除法可以将分数(有理数， $\mathbb{Q}$ )转化为循环小数。

例如 ${3 \over 7}$ 可以用长除法计算如下：

      .4 2 8 5 7 1 4 ...
 7 ) 3.0 0 0 0 0 0 0 0 
     2 8                         30/7 = 4 r 2
       2 0
       1 4                       20/7 = 2 r 6
         6 0
         5 6                     60/7 = 8 r 4
           4 0
           3 5                   40/7 = 5 r 5
             5 0
             4 9                 50/7 = 7 r 1
               1 0
                 7               10/7 = 1 r 3
                 3 0
                 2 8             30/7 = 4 r 2  (从这里开始重复)
                   2 0
                        等等